Thời Cổ đại

Kim tự tháp Kheops ở Giza (xây dựng vào khoảng thời gian 2589-2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng 1760 cubit (1 cubit bằng khoảng 0,5 mét) và chiều cao khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp xỉ bằng 2π ≈ 6.2832, một số nhà Ai Cập học kết luận rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn[24]. Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến này và khẳng định mối quan hệ với số π đơn thuần là một sự trùng hợp, bởi không có bằng chứng cho thấy những người xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π, và kích thước của kim tự tháp còn dựa trên nhiều yếu tố khác[25].

Những ước lượng sớm nhất về π được tìm thấy ở Ai Cập và Babylon có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ một phần trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900-1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng 25/8 = 3,1250[26]. Ở Ai Cập, cuộn giấy Rhind, có niên đại khoảng 1650 tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850 tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn, trong đó gán cho giá trị của π bằng (16/9)2 ≈ 3,1605[26].

Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ Kinh Shulba (viết bằng tiếng Phạn với nhiều nội dung toán học) đã cho số π bằng (9785/5568)2 ≈ 3,088.[27]. Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn Độ đánh giá π bằng 10 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}} ≈ 3,1622[28].

Hai bài thơ trong Kinh thánh Hebrew (được viết giữa thế kỷ VIII và thế kỷ III tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong nghi lễ tại Đền Solomon có đường kính 10 cubit và chu vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng π bằng 3 nếu hồ có hình tròn[29][30]. Học giả người Do Thái Rabbi Nehemiah giải thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về hình học của ông, Mishnat ha-Middot, viết vào khoảng năm 150 CN và coi π bằng 21/7[31].

Thời kì của phép xấp xỉ đa giác

π có thể ước lượng bằng cách tính chu vi của các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn.

Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của π là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes[32]. Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho π đôi khi được gọi là "hằng số Archimedes"[33]. Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của π bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 < π < 22/7 (3,1408 < π < 3,1429). Có thể chính cận trên 22/7 của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho rằng π bằng 22/7[34]. Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp-La Mã Ptolemaeus, trong bộ Almagest của mình, đã đưa ra giá trị π bằng 3,1416, có lẽ là lấy lại kết quả tính toán của Archimedes hoặc của Apollonius xứ Pergaeus[35]. Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của π vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương pháp chuỗi vô hạn[36].

Archimedes đã phát triển cách tiếp cận đa giác để tính toán số π.

Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của π bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ nhất của Công Nguyên), 10 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {10}}} (100 của Công Nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỷ thứ III, xấp xỉ 3,1556)[37]. Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều Tào Ngụy tên là Lưu Huy đã phát minh ra thuật toán lặp dựa trên đa giác (thuật toán π Lưu Huy) và sử dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị của π bằng 3,1416[38][39]. Cũng chính Lưu Huy sau đó đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính π và thu được giá trị 3,14 với một đa giác 96 cạnh, bằng cách lợi dụng tính chất là hiệu diện tích các đa giác liên tiếp tạo nên một dãy cấp số nhân với hệ số 4[38]. Vào khoảng năm 480, một nhà toán học Trung Quốc khác là Tổ Xung Chi đã tính toán ra π ≈ 355/113, sử dụng thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh. Với giá trị chính xác ở bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị 3,141592920... là giá trị gần đúng chính xác nhất của π mà con người tính được trong suốt hơn 800 năm sau đó[40].

Trong khi đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata sử dụng giá trị 3,1416 trong sách Āryabhaṭīya của ông (499 của Công Nguyên)[41]. Fibonacci vào khoảng năm 1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp đa giác khác với phương pháp của Archimedes[42]. Văn hào người Ý Dante dường như đã sử dụng giá trị của π là 3 + 2 / 10 {\displaystyle \scriptstyle 3+{\sqrt {2}}/10} ≈ 3,14142[42].

Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al-Kāshī đã tìm ra 16 chữ số vào năm 1424 bằng cách sử dụng đa giác có 3×228 cạnh[43][44], xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được khoảng 180 năm[45]. Nhà toán học Pháp François Viète vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác 3×217 cạnh[45]. Nhà toán học xứ Vlaanderen Adriaan van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593[45]. Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số π được gọi là "số Ludolph" trong tiếng Đức cho tới tận đầu thế kỷ XX)[46]. Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới 34 chữ số vào năm 1621[47] và nhà thiên văn học người Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm 1630[48], đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác.

Các chuỗi số vô hạn

Việc tính toán số π được cách mạng hóa bởi sự phát triển kĩ thuật chuỗi số vô hạn trong các thế kỷ XVI và XVII. Một chuỗi vô hạn là một tổng các số hạng của một dãy vô hạn[49]. Chuỗi vô hạn cho phép các nhà toán học tính toán π với độ chính xác lớn hơn nhiều độ chính xác đạt được từ phương pháp của Archimedes và các kĩ thuật hình học khác[49]. Mặc dù chuỗi vô hạn được sử dụng cho số π nổi tiếng nhất bởi các nhà toán học châu Âu như James Gregory và Gottfried Leibniz, cách tiếp cận này được khám phá lần đầu tiên ở Ấn Độ vào giữa những năm 1400 và 1500 CN[50]. Bản ghi chép đầu tiên mô tả một chuỗi vô hạn có thể tính toán số π nằm trong một bài thơ tiếng Phạn của nhà thiên văn Ấn Độ Nilakantha Somayaji trong tập Tantrasamgraha của ông, ra đời khoảng năm 1500[51]. Trong tập sách, chuỗi này được chép lại mà không có chứng minh, nhưng phép chứng minh đã được trình bày trong một công trình Ấn Độ sau đó, Yuktibhāṣā, do Jyesthadeva biên soạn vào khoảng năm 1530. Nilakantha quy chuỗi này là phát hiện của một nhà toán học Ấn Độ trước đó, Madhava của Sangamagrama, người sống trong khoảng những năm 1350-1425[51]. Một số chuỗi vô hạn được mô tả, bao gồm các chuỗi sin, tang, và cosin, ngày nay được biết dưới tên chuỗi Madhava hay chuỗi Gregory-Leibniz[51]. Madhava đã sử dụng những chuỗi vô hạn để đánh giá π tới 11 chữ số vào khoảng năm 1400, nhưng kỉ lục này đã bị đánh bại bởi một thuật toán đa giác của Jamshīd al-Kāshī năm 1430[52].

Isaac Newton đã sử dụng chuỗi vô hạn để tính toán π tới 15 chữ số, về sau viết trong một lá thư rằng "Tôi lấy làm hổ thẹn để kể với anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh toán này"[53].

Dãy số vô hạn đầu tiên được khám phá ở châu Âu là một tích vô hạn (thay vì một tổng vô hạn, vốn phổ biến hơn trong phép tính số π) được tìm thấy bởi nhà toán học Pháp François Viète năm 1593[54]:

2 π = 2 2 × 2 + 2 2 × 2 + 2 + 2 2 × ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\times {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\times {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\times \cdots }

Dãy số vô hạn thứ hai ở châu Âu của John Wallis (1655) cũng là một tích vô hạn nữa[54]. Khám phá ra phép vi tích phân, bởi nhà khoa học Anh Isaac Newton và nhà toán học Đức Leibniz vào thập niên 1660 đã dẫn tới sự phát triển nhiều chuỗi vô hạn để đánh giá π. Chính Newton cũng dùng một chuỗi arcsin để tính ra một xấp xỉ 15 chữ số cho số π vào khoảng năm 1665 hoặc 1666, và về sau này viết rằng "Tôi lấy làm hổ thẹn để kể với anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh toán này, chẳng có việc gì hơn để làm vào lúc đó cả"[53].

Ở châu Âu, công thức Madhava được khám phá lại bởi nhà toán học Scotland James Gregory năm 1671, và bởi Leibniz năm 1674[55][56]:

arctan ⁡ z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }

Công thức này, tức chuỗi Gregory-Leibniz, tương đương π / 4 {\displaystyle \scriptstyle \pi /4} khi đánh giá với z = 1[56]. Năm 1699, nhà toán học Anh Abraham Sharp sử dụng chuỗi Gregory-Leibniz để tính π tới 71 chữ số, phá vỡ kỉ lục trước đó với 39 chữ số xác lập bởi một thuật toán đa giác[57]. Chuỗi Gregory-Leibniz đơn giản, nhưng nó hội tụ rất chậm (có nghĩa là, tiệm cận với giá trị chính xác một cách từ từ qua từng số hạng), do đó người ta không dùng nó trong các phép tính toán số π hiện đại[58].

Năm 1706 John Machin sử dụng chuỗi Gregory-Leibniz để tạo nên một thuật toán hội tụ nhanh hơn nhiều[59]:

π 4 = 4 arctan ⁡ 1 5 − arctan ⁡ 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}

Machin đã đạt tới 100 chữ số của π với công thức này[60]. Các nhà toán học khác tạo nên những biến thể của nó, ngày nay được biết dưới tên "các công thức kiểu Machin", được dùng để thiết lập một số kỉ lục tiếp theo cho số chữ số của π[60]. Các công thức kiểu Machin duy trì là phương pháp được biết đến nhiều nhất để tính toán π khi tiến tới ngưỡng cửa kỉ nguyên máy tính, và chúng đã tạo nên các kỉ lục trong 250 năm, lên đến đỉnh điểm vào một phép gần đúng 620 chữ số năm 1946 bởi Daniel Ferguson - đây chính là kết quả cao nhất mà con người từng đạt được mà không có sự giúp đỡ của một thiết bị tính toán nào[61].

Một kỉ lục đáng chú ý được thiết lập bởi thiên tài tính toán Zacharias Dase vào năm 1844 khi ông 20 tuổi. Ông đã sử dụng một công thức kiểu Machin để tính toán 200 chữ số của π trong đầu dưới sự chỉ đạo của nhà toán học Đức Carl Friedrich Gauss[62]. Nhà toán học Anh William Shanks nổi tiếng vì dành 15 năm để tính toán π tới 707 chữ số (hoàn thành năm 1873), nhưng về sau người ta tìm thấy một lỗi sai ở chữ số thứ 528, kéo tất cả những số đằng sau sai theo[62].

Tốc độ hội tụ

Một số chuỗi vô hạn cho π hội tụ nhanh hơn những chuỗi khác. Cho trước hai chuỗi vô hạn cho π, các nhà toán học thông thường sử dụng chuỗi hội tụ nhanh hơn bởi như thế đồng nghĩa với việc giảm được số lượng phép tính cho bất kì độ chính xác yêu cầu nào[63]. Một chuỗi vô hạn cho π là chuỗi Gregory-Leibniz:[64]

π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯ {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }

Khi các số hạng riêng lẻ của chuỗi vô hạn này được cộng thêm vào tổng, tổng số tiến gần hơn dần dần tới π, và - với một số lượng số hạng đủ - nó sẽ tiến đến π gần như mong muốn. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của π[65].

Một chuỗi vô hạn cho π được công bố bởi Nilakantha vào thế kỷ XV hội tụ nhanh hơn nhiều chuỗi Gregory-Leibniz[66]:

π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − 4 8 × 9 × 10 + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }

Bảng sau so sánh tốc độ hội tụ của hai chuỗi này:

Chuỗi vô hạn cho π	Sau số hạng thứ nhất	Sau số hạng thứ 2	Sau số hạng thứ 3	Sau số hạng thứ 4	Sau số hạng thứ 5	Hội tụ tới:
π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 ⋯ . {\displaystyle \scriptstyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .}	4,0000	2,6666...	3,4666...	2,8952...	3,3396...	π = 3,1415...
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 ⋯ . {\displaystyle \scriptstyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .}	3,0000	3,1666...	3,1333...	3,1452...	3,1396...

Sau 5 số hạng, tổng của chuỗi Gregory-Leibniz nằm trong sai số tuyệt đối cỡ 0,2 của π, trong khi tổng của chuỗi Nilakantha sai số chỉ cỡ 0,002. Như vậy chuỗi Nilakantha hội tụ nhanh hơn và hữu dụng hơn trong việc tính toán số π. Những chuỗi thậm chí hội tụ còn nhanh hơn bao gồm các chuỗi kiểu Machin và chuỗi Chudnovsky, trong đó chuỗi Chudnovsky tạo ra 14 chữ số thập phân đúng cho mỗi số hạng thêm vào[63].

Tính vô tỉ và tính siêu việt

Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới π đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ. Khi Euler giải Bài toán Basel vào năm 1735, tìm ra giá trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập một mối liên hệ giữa π và các số nguyên tố mà về sau góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu hàm Riemann zeta[67]:

π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }

Nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert vào năm 1761 chứng minh rằng π là số vô tỉ, có nghĩa nó không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào[10]. Phép chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân số liên tục của hàm tang[68]. Nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre vào năm 1794 chứng tỏ rằng π2 cũng là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức Ferdinand von Lindemann chứng tỏ rằng π là số siêu việt, xác nhận một phỏng đoán được cả Legendre và Euler đưa ra trước đó[69]

Kỉ nguyên máy tính và các thuật toán lặp

John von Neumann tham gia vào nhóm nghiên cứu đầu tiên sử dụng một máy tính số, ENIAC, để tính toán số π.

Sự phát triển của máy tính vào giữa thế kỷ XX một lần nữa đã cách mạng hóa cuộc săn lùng những chữ số của π. Các nhà toán học Hoa Kỳ là John Wrench và Levi Smith đã đạt tới 1120 chữ số vào năm 1949 với một máy tính bàn[70]. Sử dụng một chuỗi vô hạn arctang, một nhóm đứng đầu bởi George Reitwiesner và John von Neumann đã đạt được 2037 chữ số với một phép tính đòi hỏi 70 giờ làm việc của máy tính ENIAC[71]. Kỉ lục, luôn dựa vào các chuỗi arctang, liên tục bị phá vỡ sau đó (7 480 chữ số năm 1957, 10 000 chữ số năm 1958, 100 000 năm 1961) cho đến khi 1 triệu chữ số đạt được vào năm 1973[72].

Hai tiến bộ khác khoảng năm 1980 một lần nữa tăng tốc khả năng tính toán số π. Thứ nhất, khám phá ra các thuật toán lặp để tính π nhanh hơn nhiều các chuỗi vô hạn; và thứ hai, sự phát minh ra thuật toán nhân nhanh cho phép nhân những số lớn một cách nhanh chóng[73]. Những thuật toán như vậy là đặc biệt quan trọng trong việc tính toán số π thời hiện đại, bởi hầu hết thời gian vận hành máy tính là dành cho các phép nhân[74]. Chúng bao gồm thuật toán Karatsuba, phép nhân Toom-Cook, và các phương pháp dựa trên biến đổi Fourier[75].

Các thuật toán lặp được công bố một cách độc lập trong năm 1975-1976 bởi nhà vật lý Hoa Kỳ Eugene Salamin và nhà khoa học Australia Richard Brent[76]. Các thuật toán này chấm dứt sự phụ thuộc vào các chuỗi vô hạn. Một thuật toán lặp(iterative algorithm) lặp lại một phép tính đặc trưng, mỗi lần lặp lại sử dụng đầu ra từ bước lặp trước làm đầu vào của nó, và sinh ra một kết quả trong mỗi bước hội tụ về giá trị mong muốn. Cách tiếp cận này thực ra đã được khám 160 năm trước đó bởi Carl Friedrich Gauss, trong một phương pháp mà ngày nay gọi là phương pháp AGM (arithmetic-geometric mean method, phương pháp trung bình hình học-đại số) hay thuật toán Gauss-Legendre[76]. Vì được sửa đổi bởi Salamin và Brent, nó cũng còn được gọi là thuật toán Brent-Salamin.

Các thuật toán lặp được sử dụng rộng rãi sau 1980 bởi nó nhanh hơn các thuật toán chuỗi vô hạn: trong khi các chuỗi vô hạn thường tăng số chữ số chính xác dần dần một cách cộng thêm, các thuật toán lặp lại thường "nhân" số chữ số chính xác ở mỗi bước. Ví dụ, thuật toán Brent-Salamin nhân đôi số chữ số trong mỗi lần lặp. Năm 1984, hai anh em người Canada John và Peter Borwein tạo nên một thuật toán lặp nhân bốn lần số chữ số trong mỗi bước; và năm 1987, một thuật toán nhân năm lần mỗi bước[77]. Các phương pháp lặp được sử dụng bởi nhà toán học Nhật Bản Yasumasa Kanada để lập lên một số kỉ lục giữa 1995 và 2002[78]. Sự hội tụ nhanh có được kèm theo một cái giá: các thuật toán lặp đòi hỏi bộ nhớ nhiều hơn đáng kể so với các chuỗi vô hạn[78].

Động lực tính toán số π

Khi các nhà toán học khám phá ra những thuật toán mới, và máy tính trở nên sẵn dùng, số các chữ số được biết về π tăng nhanh chóng.

Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới π, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử[79]. Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán π tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ số[80]. Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với π thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên khắp thế giới[81][82]. Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của π[83].

Các chuỗi hội tụ nhanh

Srinivasa Ramanujan, làm việc một mình ở Ấn Độ, đã tạo nên nhiều chuỗi số mới để tính số π.

Các phép tính số π hiện đại không chỉ sử dụng duy nhất thuật toán lặp. Các chuỗi vô hạn mới được phát hiện vào những thập niên 1980 và 1990 cũng hội tụ nhanh không kém các thuật toán lặp, nhưng đơn giản hơn và tốn ít bộ nhớ hơn[78]. Chúng đã manh nha xuất hiện vào năm 1914, khi nhà toán học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan công bố hàng chục công thức mới cho số π, chúng đáng nhớ do tính tao nhã, chiều sâu toán học và sự hội tụ nhanh[84]. Một trong các công thức của ông, dựa trên các phương trình module:

1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}

Chuỗi này hội tụ nhanh hơn rất nhiều hầu hết mọi chuỗi arctang, bao gồm cả công thức Machin[85]. Bill Gosper là người đầu tiên sử dụng nó để tạo nên những tiến bộ trong tính toán π, lập nên kỉ lục 17 triệu chữ số vào năm 1985[86]. Các công thức của Ramanujan báo trước các thuật toán hiện đại phát triển bởi anh em nhà Borwein và anh em nhà Chudnovsky[87]. Thuật toán Chudnovsky được phát triển vào năm 1987 là:

1 π = 12 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 640320 3 k + 3 / 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.\!}

Nó sinh ra khoảng 14 chữ số của π mỗi số hạng[88], và đã được dùng cho một vài phép tính lập kỉ lục về π, trong đó có kỉ lục vượt một tỉ chữ số năm 1989 bởi anh em nhà Chudnovsky. Vào ngày 31 tháng 9 năm 2012[89] Fabrice Bellard đã lập kỉ lục khi sử dụng công thức Chudnovsky để tính chữ số thứ 2,7 nghìn tỉ của số π[90] trước khi bị Shigeru Kondo vượt mặt khi tính ra chữ số thứ 5 nghìn tỉ vào năm 2010[91] và sau đó là chữ số thứ 10 nghìn tỉ của π vào năm 2011.[92]

Năm 2006, nhà toán học Canada Simon Plouffe đã sử dụng "thuật toán hệ thức nguyên PSLQ" (PSLQ: Partial Sum of Least Squares - tổng riêng phần của các bình phương cực tiểu) để tạo ra một vài công thức mới cho π, tuân theo mẫu sau:

π k = ∑ n = 1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 ) {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}

trong đó q {\displaystyle {\mathit {q}}} là hằng số Gelfond eπ, k {\displaystyle {\mathit {k}}} là một số lẻ, và a , b , c {\displaystyle {\mathit {a,b,c}}} là những số hữu tỉ mà Plouffe đưa vào[93].

Thuật toán miệng vòi

Hai thuật toán được khám phá vào năm 1995 đã mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu về số π. Chúng gọi là các thuật toán "miệng vòi" (spigot algorithms) bởi vì, giống như nước nhỏ giọt khỏi một miệng vòi, chúng tạo ra từng chữ số riêng lẻ của π không được tái sử dụng sau khi đã được tính ra[94][95]. Điều này đối lập với các chuỗi vô hạn hay những thuật toán lặp, là những thuật toán lưu giữ và sử dụng tất cả những chữ số trung gian cho đến khi kết quả cuối cùng được tạo ra[94].

Các nhà toán học Hoa Kỳ Stan Wagon và Stanley Rabinowitz đã tạo nên một thuật toán miệng vòi đơn giản vào năm 1995[95][96][97]. Tốc độ của nó là tương đương với các thuật toán arctang, nhưng không nhanh bằng các thuật toán lặp[96].

Một thuật toán miệng vòi khác, thuật toán trích xuất chữ số Bailey-Borwein-Plouffe (BBP digit extraction algorithm), được phát hiện vào năm 1995 bởi Simon Plouffe[98][99]:

π = ∑ i = 0 ∞ 1 16 i ( 4 8 i + 1 − 2 8 i + 4 − 1 8 i + 5 − 1 8 i + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)}

Công thức này, không giống những công thức trước đó, có thể sinh ra bất kì chữ số hệ thập lục phân của π mà không tính toán tới các chữ số đứng trước nó[98]. Các chữ số nhị phân hay bát phân riêng rẽ có thể trích xuất từ các chữ số hệ thập lục phân. Các biến thể của thuật toán này đã được phát hiện, nhưng cho tới nay chưa tìm thấy thuật toán trích xuất chữ số nào sinh ra nhanh chóng các chữ số thập phân[100]. Một ứng dụng quan trọng của các thuật toán trích xuất chữ số là hợp thức hóa những tuyên bố mới về kỉ lục tính toán số π: sau khi một kỉ lục được tuyên bố, các kết quả thập phân được chuyển sang hệ thập lục phân, và sau đó một thuật toán trích xuất chữ số được dùng để tính toán một số ngẫu nhiên những chữ số gần cuối, nếu chúng phù hợp, điều này cung cấp một phương pháp tin cậy rằng tính toán tổng thể là đúng[92].

Giữa năm 1998 và 2000, dự án tính toán phân bố PiHex sử dụng công thức Bellard (một bản chỉnh sửa của thuật toán BBP) để tính toán bit thứ một triệu tỉ(1015) của π, đã cho ra kết quả là 0[101]. Tháng Chín năm 2010, một nhân viên của Yahoo! đã sử dụng ứng dụng Hadoop của công ty trên một ngàn máy tính trong một thời gian 23 ngày để tính toán 256 bit của π ở vị trí bit 2 triệu tỉ (2×1015)[102].

Không thể nào tính được phần khiếm khuyết còn lại của số π khi cố gắng nhìn xa hơn, phần còn lại siêu nhỏ đấy tiến rất gần số 0 mặc dù không bao giờ bằng 0 được. Nếu giá trị bằng 0 đồng nghĩa với việc nói rằng một số thực a/∞ = 0 (a ∈ N), như thể phủ nhận sự tồn tại của một hạt bụi trong vũ trụ và hạt bụi đó có thể là nơi mà bạn đang sống. [[(a/∞ > 0 (a ∈ N)]]. Tuy nhiên xét về mặt tương đối, tạo ra một cái gì đó với mức độ tương đối chính xác trong khoa học, kĩ thuật hay nghiên cứu nào đó dù là định hướng duy vật hay duy tâm thì nó được chấp nhận như hoàn thiện và từ đó có thể được tiếp tục phát triển.
Đi về phía cân bằng 08:23, ngày 24 tháng 5 năm 2013 (UTC)